Question

已知函數(shù)f（x）=x²+alnx，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)x₁，x₂（x₁＞x₂），都有f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞

  1

  2

• B、a≥

  1

  2

• C、a＞0
• D、a＞2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上單增，再利用導(dǎo)數(shù)，可得a≥-2x²+2x恒成立，即a≥（-2x²+2x）_max，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x₁）-f（x₂）＞2（x₁-x₂），
∴f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂，
即g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上單增，
即g′(x)=2x+

a

x

-2≥0恒成立，
也就是a≥-2x²+2x恒成立，∴a≥（-2x²+2x）_max，
∴a≥

1

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定g（x）=f（x）-2x=x²+alnx-2x在（0，+∞）上單增是關(guān)鍵．