Question

（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.

Answer 1

(1)同解析（2）異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.（3）點A到平面PCD的距離d＝

解法一：
（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.
因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，
在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝,
cos∠PBO=,
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.
(Ⅲ)

由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝，
所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.
又S△=
設點A到平面PCD的距離h，
由V_P-ACD=V_A-PCD，
得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝.
解法二：

（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.
則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=，
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，
（Ⅲ）設平面PCD的法向量為n＝（x₀,y₀,x₀），
由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
則　　n·＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,
n·＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　
取x₀=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).
又=(1,1,0).
從而點A到平面PCD的距離d＝