Question

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）=log2（ +a）．
（1）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＞1；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素，求a的值；
（3）設(shè)a＞0，若對任意t∈[ ，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時，不等式f（x）＞1化為： ＞1，

∴ 2，化為： ，解得0＜x＜1，

經(jīng)過驗證滿足條件，因此不等式的解集為：（0，1）

（2）解：方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，∴（ +a）x2=1，化為：ax2+x﹣1=0，

若a=0，化為x﹣1=0，解得x=1，經(jīng)過驗證滿足：關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素1．

若a≠0，令△=1+4a=0，解得a= ，解得x=2．經(jīng)過驗證滿足：關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一個元素1．

綜上可得：a=0或﹣

（3）解：a＞0，對任意t∈[ ，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，

∴ ﹣ ≤1，

∴ ≤2，

化為：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，

g′（t）= = = ≤ ＜0，

∴g（t）在t∈[ ，1]上單調(diào)遞減，∴t= 時，g（t）取得最大值， = ．

∴ ．

∴a的取值范圍是

【解析】（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）＞1化為： ＞1，因此 2，解出并且驗證即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ +a）+log2（x2）=0，（ +a）x2=1，化為：ax2+x﹣1=0，對a分類討論解出即可得出．（3）a＞0，對任意t∈[ ，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意可得 ﹣ ≤1，因此 ≤2，化為：a≥ =g（t），t∈[ ，1]，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�)，還要掌握指、對數(shù)不等式的解法(指數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化;對數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．