Question

9．某校為了研究學(xué)情，從高三年級中抽取了20名學(xué)生三次測試數(shù)學(xué)成績和物理成績，計算出了他們?nèi)�次成績的平均名次如下表�?br />

學(xué)生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數(shù)學(xué)平均名次 物理平均名次	1.3 2.3	12.3 9.7	25.7 31.0	36.7 22.3	50.3 40.0	67.7 58.0	49.0 39.0	52.0 60.7	40.0 63.3	34.3 42.7
學(xué)生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數(shù)學(xué)平均名次 物理平均名次	78.3 49.7	50.0 46.7	65.7 83.3	66.3 59.7	68.0 50.0	95.0 101.3	90.7 76.7	87.7 86.0	103.7 99.7	86.7 99.0

學(xué)校規(guī)定：平均名次小于或等于40.0者為優(yōu)秀，大于40.0者為不優(yōu)秀．
（1）對名次優(yōu)秀賦分2，對名次不優(yōu)秀賦分1，從這20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，若用ξ表示這2名學(xué)生兩科名次賦分的和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下的物理成績和數(shù)學(xué)成績有關(guān)？
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d

P（K2＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）ξ可能的取值為4，5，6，7，8．求出概率得到分布列，然后求解期望．
（2）列出2×2列聯(lián)表，求出K²的觀測值，然后推出結(jié)果．

解答 解：（1）ξ可能的取值為4，5，6，7，8．又$P（{ξ=4}）=\frac{{C_{12}^2}}{{C_{20}^2}}=\frac{33}{95}，P（{ξ=5}）=\frac{{C_4^1C_{12}^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{24}{95}$，$P（{ξ=6}）=\frac{{C_4^2+C_4^1C_{12}^1}}{{C_{20}^2}}=\frac{27}{95}，P（{ξ=7}）=\frac{C_4^1C_4^1}{{C_{20}^2}}=\frac{8}{95}，P（{ξ=8}）=\frac{C_4^2}{{C_{20}^2}}=\frac{3}{95}$，
故ξ的分布列為

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{24}{95}$	$\frac{27}{95}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{3}{95}$

ξ的數(shù)學(xué)期望$Eξ=4×\frac{33}{95}+5×\frac{24}{95}+6×\frac{27}{95}+7×\frac{8}{95}+8×\frac{3}{95}=\frac{26}{5}$．
（2）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)及學(xué)校的規(guī)定，可列出2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學(xué)優(yōu)秀	數(shù)學(xué)不優(yōu)秀	合計
物理優(yōu)秀	4	2	6
物理不優(yōu)秀	2	12	14
合計	6	14	20

假設(shè)物理成績與數(shù)學(xué)成績無關(guān)，根據(jù)列表中數(shù)據(jù)，得K²的觀測值$k=\frac{{20×{{（{4×12-2×2}）}^2}}}{6×14×6×14}≈5.488＞5.024$，因此，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)．

點評 本題考查離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，獨立檢驗的應(yīng)用，考查計算能力．