Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，若2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，b_n=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求證：{b_n}為等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）若C_n=nb_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，且其前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）利用2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，化簡可知b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）分別利用錯位相減法及裂項相消法計算可知數(shù)列{n•$\frac{1}{{2}^{n}}$}、{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n項和分別為A_n=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，B_n=$\frac{n}{n+1}$，進而放縮即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵2a_n+1-a_n=$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$，b_n=a_n-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴b_n+1=a_n+1-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{n（n+1）（n+2）}$]-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{n-2}{2}$•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$-2•$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=$\frac{1}{2}$[a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$b_n，
又∵b₁=a₁-$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
于是b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=b_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（2）由（1）可知C_n=nb_n+$\frac{1}{n（n+1）}$=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，
記數(shù)列{n•$\frac{1}{{2}^{n}}$}、{$\frac{1}{n（n+1）}$}的前n項和分別為A_n，B_n，
則B_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
A_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$A_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$A_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴A_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
于是T_n=A_n+B_n=$\frac{n}{n+1}$+2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1+2=3．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，考查裂項相消法，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．