Question

已知點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，點(diǎn)A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）順次為x軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N^*，點(diǎn)A_n，B_n，A_n+1構(gòu)成以∠B_n為頂角的等腰三角形，設(shè)△A_nB_nA_n+1的面積為S_n，
（1）證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)數(shù)列{

1

S2n-1S2n

}前n項(xiàng)和為T_n，判斷T_n與

8n

3n+4

（n∈N^*）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列的函數(shù)特性，要證明數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列，我們可以根據(jù)已知點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，進(jìn)而給出數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式法證明．
（2）由已知易得

xn+xn+1

2

=n，進(jìn)一步可以證明數(shù)列{x_n}所有的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)易得A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），結(jié)合（1）的結(jié)論和三角形面積公式，即可給出S_2n-1的表達(dá)式．
（3）由（2）的結(jié)論，易給出數(shù)列{

1

S2n-1S2n

}前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，化簡T_n的表達(dá)式再與

8n

3n+4

進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由于點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，
則yn=

1

2

n+1，
因此yn+1-yn=

1

2

，所以數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）由已知有

xn+xn+1

2

=n，那么x_n+x_n+1=2n，同理x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上兩式相減，得x_n+2-x_n=2，
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，成等差數(shù)列；x₂，x₄，x₆，…，x_2n，也成等差數(shù)列，
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=2n+a-2，x_2n=x₂+（n-1）×2=（2-a）+（n-1）×2=2n-a，
點(diǎn)A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），
則|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，
而yn=

1

2

n+1，
∴S2n-1=S△A2n-1B2n-1A2n=

1

2

×2(1-a)×y2n-1=(1-a)y2n-1=(1-a)×

2n+1

2

；
（3）由（2）得：S2n=S△A2nB2nA2n+1=

1

2

×2a×y2n=ay2n=a(n+1)，
則S2nS2n-1=

a(1-a)(n+1)(2n+1)

2

≤(

a+1-a

2

)2×

(n+1)(2n+1)

2

=

(n+1)(2n+1)

8

而S_2nS_2n-1＞0，則Tn≥

n

k=1

8

(k+1)(2k+1)

，
即Tn≥

n

k=1

16

(2k+2)(2k+1)

=16

n

k=1

(

1

2k+1

-

1

2k+2

)
∴Tn≥16((

1

3

-

1

4

)+(

1

5

-

1

6

)++(

1

2n+1

-

1

2n+2

))
∴Tn≥16((

1

3

+

1

4

)+(

1

5

+

1

6

)++(

1

2n+1

+

1

2n+2

)-2(

1

4

+

1

6

++

1

2n+2

))
∴Tn≥16(

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

-

1

2

)
由于

1

n+2

+

1

2n+2

＞2

1 (n+2)(2n+2)

，
而

(n+2)(2n+2)

＜

n+2+2n+2

2

=

3n+4

2

，
則

1 (n+2)(2n+2)

＞

2

3n+4

，從而

1

n+2

+

1

2n+2

＞

4

3n+4

，
同理：

1

n+3

+

1

2n+1

＞

4

3n+4

?

1

2n+2

+

1

n+2

＞

4

3n+4

?
以上n+1個(gè)不等式相加得：2(

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

)＞

4(n+1)

3n+4

即

1

n+2

+

1

n+3

++

1

2n+2

＞

2(n+1)

3n+4

，
從而Tn＞16(

2(n+1)

3n+4

-

1

2

)=

8n

3n+4

．

點(diǎn)評：要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項(xiàng)法，判斷是否每一項(xiàng)都是其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差（比）中項(xiàng)；③通項(xiàng)公式法，判斷其通項(xiàng)公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項(xiàng)和公式法．