Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分別為PB，AB的中點，設(shè)AC和BD相交于點O
（Ⅰ）證明：OM∥底面PAD；
（Ⅱ）若DF⊥PA且交PA于F點，證明DF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求四面體D-MNB的體積

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明：OM∥底面PAD，只要證明OM∥PD即可．
（Ⅱ）要證明DF⊥平面PAB；已知DF⊥PA，證明DF⊥AB即可．
（Ⅲ）求四面體D-MNB的體積，直接求出底面MNB的面積，再求D到底面MNB的距離即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知易知OM是△BDP的中位線，
∴OM∥PD．
∵OM?面PAD，PD?面PAD
∴OM∥面PAD
（另證：也可先證明平面OMN∥平面DPA）
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，_、AD∩PD=D_，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAB
（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴四面體D-MNB的高為DF，
在Rt△PDA中，DF=

DA•DP

DA2+DP2

=

12 13

13

，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，
∴MN⊥NB，AP=

DA2+DP2

=

42+62

=

52

=2

13

，
S△BMN=

1

2

BN•MN=

1

2

•

AB

2

•

AP

2

=

13

，VD-MNB=

1

3

•S△MNB•DF=

1

3

.

12 13

13

•

13

=4．

點評：本題考查空間直線與直線、平面的位置關(guān)系，棱錐的體積，考查空間想象能力，是中檔題．