如果f(x)在某個(gè)區(qū)間I內(nèi)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈I,都有數(shù)學(xué)公式,則稱(chēng)f(x)在I上為下凸函數(shù);已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
(Ⅰ)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上為下凸函數(shù);
(Ⅱ)若f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且數(shù)學(xué)公式時(shí),|f'(x)|<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(Ⅰ)任取x1,x2∈(0,+∞),則==,…(2分)
,…(3分)
∵x12+x22≥2x1x2,∴(x1+x22≥4x1x2,
,…(5分)

,

∴f(x)為(0,+∞)上的下凸函數(shù)…(7分)
答:f(x)為(0,+∞)上的下凸函數(shù)
(Ⅱ)先對(duì)所給的函數(shù)求導(dǎo)得到,…(9分)

,…(11分)
恒成立,
設(shè)
則有g(shù)max(x)<a<hmin(x),
上為增函數(shù),在[1,2]上為減函數(shù)
∴gmax(x)=g(1)=-2…(12分),
上為增函數(shù),
…(13分)
…(14分)
答:實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,-
分析:(Ⅰ)由題設(shè)中的定義知,可先得出的展開(kāi)式,整理成最簡(jiǎn)形式,根據(jù)題設(shè)條件判斷出即可證明出結(jié)論;
(II)由題意f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且時(shí),|f'(x)|<1可得出,由于在時(shí),此不等式恒成立,故可構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為gmax(x)<a<hmin(x),根據(jù)兩函數(shù)的單調(diào)性求出gmax(x)與hmin(x),即可得到a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題是一個(gè)新定義的題,考查了利用新定義證明,利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,理解新定義,將恒成立的問(wèn)題進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求最值是導(dǎo)數(shù)的重要運(yùn)用,本題用到了轉(zhuǎn)化的思想,函數(shù)的思想,是綜合性較強(qiáng)的題,可能因?yàn)檎也坏絾?wèn)題的轉(zhuǎn)化方向而無(wú)法下手.
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如果f(x)在某個(gè)區(qū)間I內(nèi)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈I,都有
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
,則稱(chēng)f(x)在I上為下凸函數(shù);已知函數(shù)f(x)=
1
x
-alnx

(Ⅰ)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上為下凸函數(shù);
(Ⅱ)若f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且x∈[
1
2
,2]
時(shí),|f'(x)|<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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如果f(x)在某個(gè)區(qū)間I內(nèi)滿(mǎn)足:對(duì)任意的x1,x2∈I,都有
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)
,則稱(chēng)f(x)在I上為下凸函數(shù);已知函數(shù)f(x)=
1
x
-alnx

(Ⅰ)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上為下凸函數(shù);
(Ⅱ)若f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且x∈[
1
2
,2]
時(shí),|f'(x)|<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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(Ⅰ)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,+∞)上為下凸函數(shù);
(Ⅱ)若f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且時(shí),|f'(x)|<1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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