(2012•安徽模擬)已知橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>0)
的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線y=t與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E,F(xiàn),若D(x,y)是以EF為直徑的圓上的點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),D點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的最大值為2.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,
2
)
且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,是否存在k,使得向量
OP
+
OQ
AB
共線?若存在,試求出k的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由
y=t
x2+a2y2=a2
,得x2=a2(1-t2),-1<t<1,故r=
|EF|
2
=a
1-t2
,圓心為(0,t),由此能求出橢圓C的方程.
(2)l:y=kx+
2
,由
y=kx+
2
x2+3y2=3
,得(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0
,△=72k2-12(1+3k2)>0⇒|k|>
3
3
,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)M(
x
 
0
,y0)
.由此能夠推導(dǎo)出不存在k,使得向量
OP
+
OQ
AB
共線.
解答:解:(1)由
y=t
x2+a2y2=a2
,得x2=a2(1-t2),-1<t<1,
r=
|EF|
2
=a
1-t2
,圓心為(0,t),
以EF為直徑的圓的方程為:x2+(y-t)2=a2(1-t2⇒y≤t+a
1-t2
(當(dāng)x=0時(shí)取等)
令t=cosθ(θ∈(0,π))⇒y≤cosθ+asinθ=
a2+1
sin(θ+?)

依題
a2+1
=2⇒a2=3
,
橢圓C的方程為:
x2
3
+y2=1
.(6分)
(2)l:y=kx+
2

y=kx+
2
x2+3y2=3
,
消去y:(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0
△=72k2-12(1+3k2)>0⇒|k|>
3
3

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)M(
x
 
0
,y0)

由點(diǎn)差法:x12-x22=-3(y12-y22)⇒
y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
-3(y1+y2)

k=
x0
-3y0
x0=-3ky0

M在直線l上y0=kx0+
2
 ②
A(
3
,0),B(0,1)⇒
AB
=(-
3
,1)
,
OP
+
OQ
AB
共線,可得
OM
AB
x0=-
3
y0
,③,
由①②③得k=
3
3
,(12分)
這與|k|>
3
3
矛盾,故不存在k,使得向量
OP
+
OQ
AB
共線.(13分)
點(diǎn)評:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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1+i
i-2
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1
2
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3
sinx+
sin2x
sinx

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(2)在三角形ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,對定義域內(nèi)任意x,有f(x)≤f(A),若a=
3
,求
AB
AC
的最大值.

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