Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
17.以雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F,且與y軸交于P、Q兩點(diǎn).若△MPQ為正三角形,則該雙曲線的離心率為( �。�
A.4B.7C.233D.3

分析 由題意可設(shè)F(c,0),MF⊥x軸,可設(shè)M(c,n),n>0,設(shè)x=c,代入雙曲線的方程,可得M的坐標(biāo),圓的半徑,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式,可得|PQ|=24a2c2,再由等邊三角形的性質(zhì),可得a,c的方程,運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:由題意可設(shè)F(c,0),
MF⊥x軸,可設(shè)M(c,n),n>0,
設(shè)x=c,代入雙曲線的方程可得y=bc2a21=2a,
即有M(c,2a),
可得圓的圓心為M,半徑為2a,
即有M到y(tǒng)軸的距離為c,
可得|PQ|=24a2c2,
由△MPQ為等邊三角形,可得
c=32•24a2c2,
化簡(jiǎn)可得3b4=4a2c2,
由c2=a2+b2,可得3c4-10c2a2+3a4=0,
由e=ca,可得3e4-10e2+3=0,
解得e2=3(13舍去),
即有e=3
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

7.設(shè)雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|=3|PF2|,則此雙曲線的離心率的取值范圍為( �。�
A.12B.(1,2]C.(0,2]D.[2,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

8.已知雙曲線Cx2a2y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,虛軸長(zhǎng)為4.
(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)(0,1),傾斜角為45°的直線l與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.若雙曲線x2a2y22=1(a>0,b>0)經(jīng)過等腰梯形ABCD的上底的兩個(gè)頂點(diǎn)C、D,下底的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),對(duì)角線AC與雙曲線的左支交于點(diǎn)E,且3|AE|=2|EC|,|AB|=2|CD|,則該雙曲線的離心率是( �。�
A.2B.3C.5D.7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.已知雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為k,k是mn的最小值,其中m,n滿足1m+1n=mn,且右焦點(diǎn)與拋物線y2=45x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的離心率等于( �。�
A.2B.25C.2D.5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.已知雙曲線C的離心率為3,焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A在曲線C上,若|F1A|=3|F2A|,則cos∠AF2F1=33

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.設(shè)雙曲線x2a+y29=λ的一條漸近線方程為x+2y=0,則a的值為( �。�
A.6B.-6C.36D.-36

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓(x-2)2+y2=1相切,則雙曲線的離心率為233

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.若函數(shù)y=15x+1+m的圖象不過第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-15].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案