Question

17．以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)M為圓心的圓與x軸恰相切于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F，且與y軸交于P、Q兩點(diǎn)．若△MPQ為正三角形，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 4
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可設(shè)F（c，0），MF⊥x軸，可設(shè)M（c，n），n＞0，設(shè)x=c，代入雙曲線的方程，可得M的坐標(biāo)，圓的半徑，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，再由等邊三角形的性質(zhì)，可得a，c的方程，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可設(shè)F（c，0），
MF⊥x軸，可設(shè)M（c，n），n＞0，
設(shè)x=c，代入雙曲線的方程可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=$\frac{^{2}}{a}$，
即有M（c，$\frac{^{2}}{a}$），
可得圓的圓心為M，半徑為$\frac{^{2}}{a}$，
即有M到y(tǒng)軸的距離為c，
可得|PQ|=2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
由△MPQ為等邊三角形，可得
c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{\frac{^{4}}{{a}^{2}}-{c}^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得3b⁴=4a²c²，
由c²=a²+b²，可得3c⁴-10c²a²+3a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得3e⁴-10e²+3=0，
解得e²=3（$\frac{1}{3}$舍去），
即有e=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．