Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x²，g（x）=alnx+b（a＞0），若對(duì)任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a，b的取值范圍是（　　）

• A．0＜a≤

  e2-e-3

  ln2

  ，b≥e-1
• B．0＜a≤

  e2-e-3

  ln2

  ，b≤e-1
• C．a(chǎn)≥

  e2-e-3

  ln2

  ，b≥e-1
• D．a(chǎn)≥

  e2-e-3

  ln2

  ，b≤e-1

Answer 1

分析：對(duì)任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），等價(jià)于x∈[1，2]時(shí)f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集，利用單調(diào)性求得兩函數(shù)的值域，由集合的包含關(guān)系可得不等式，解出即可．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）=e^x-2x＞0，所以f（x）在[1，2]上遞增，
所以x∈[1，2]時(shí)，f（1）≤f（x）≤f（2），即e-1≤f（x）≤e²-4，
由a＞0得g（x）=alnx+b在[1，2]上遞增，
所以x∈[1，2]時(shí)，g（1）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤aln2+b，
又對(duì)任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
所以有[e-1，e²-4]⊆[b，aln2+b]，則

b≤e-1 aln2+b≥e2-4

故e²-4-aln2≤b≤e-1，得到，a≥

e2-e-3

ln2

，b≤e-1
故答案為 D

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，本題中對(duì)恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．