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不等式sin2θ-(2
2
+
2
a)sin(θ+
π
4
)-
2
2
cos(θ-
π
4
)
>-3-2a對θ∈[0,
π
2
]恒成立.對于上面的不等式小川同學設x=sinθ+cosθ,則有sin2θ=x2-1,請照這一思路將不等式左邊化為關于x的函數y=h(x)
(1)求函數y=h(x)的解析式與定義域
(2)求實數a的取值范圍.
考點:函數解析式的求解及常用方法
專題:函數的性質及應用
分析:(1)首先,根據x=sinθ+cosθ,得到x=
2
sin(x+
π
4
),然后,確定函數的定義域,再利用sin(x+
π
4
)=sin(x-
π
4
)代人化簡,得到函數y=h(x)的解析式.
(2)分離參數a然后,借助于基本不等式進行求解范圍問題.
解答: 解:(1)∵x=sinθ+cosθ,
∴x=
2
sin(θ+
π
4
),
∵θ∈[0,
π
2
],
∴θ+
π
4
∈[
π
4
,
4
],
∴x∈[1,
2
]
,
函數的定義域為[1,
2
];
∵sin2θ=x2-1,x=
2
sin(θ+
π
4
),
sin(θ+
π
4
)=cos(θ-
π
4
)=
2
2
x
,
∴函數y=h(x)=x2-1-(2
2
+
2
a)
2
2
x-
2
2
2
2
x

=x2-(a+2)x-
4
x
-1
,
∴y=h(x)=x2-(a+2)x-
4
x
-1

(2)∵h(x)=x2-(a+2)x-
4
x
-1
>-3-2a,
x2-(a+2)x-
4
x
-1
+3+2a>0,
∴(2-x)a>2x-x2+
4-2x
x
=x(x-2)+2×
2-x
x
,
∵x∈[1,
2
]
,
∴2-x>0,
∴a>x+
2
x
,
令函數f(x)=x+
2
x
,
則函數f(x)在x∈[1,
2
]
 上單調遞減,
所以f(x)在x∈[1,
2
]
 上的最大值為f(1)=3.
即知a的取值范圍為(3,+∞).
點評:本題綜合考查函數的基本性質,函數恒成立問題,分離參數法在求解問題中的靈活運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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x2-x+2
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1
3
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科目:高中數學 來源: 題型:

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π
3
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π
2
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2xn
xn+2
,n∈N+,求數列{xn}的通項.

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