Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，且f（）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1，x∈[-2，2]，記函數(shù)F（x）的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+ax的最小值不小于-1，∴≥-1，即 a²≤4，-2≤a≤2．
再由f（） 可得 -≤-，a≥2．
綜上可得，a=2，f（x）=x²+2x．
（2）二次 函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的圖象開口向上，對稱軸為 x=，又 x∈[-2，2]，．
當 ，即 k＜-2，時，函數(shù)F（x）在[-2，2]上是增函數(shù)，故當x=-2時，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=2k+1．
當，即-2≤k≤6時，當x=時，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=-k²+k．
當，即 k＞6時，函數(shù)F（x）在[-2，2]上是減函數(shù)，故當x=2時，函數(shù)F（X）取得最小值為 g（k）=9-2k．
綜上可得，．
分析：（1）由f（x）=x²+ax的最小值不小于-1 求得-2≤a≤2．再由f（） 可得 a≥2，由此求得a的值，從而得到函數(shù)f（x）的解析式．
（2）二次 函數(shù)F（x）=f（x）-kx+1=x²+2x-kx+1 的圖象開口向上，對稱軸為 x=，分對稱軸在區(qū)間的左邊、在區(qū)間上、在區(qū)間的右邊三種情況，分別求出 g（k），從而得出結(jié)論．
點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．