(04年上海卷理)(18分)
設(shè)P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點, 且a1=2, a2=2, …, an=2構(gòu)成了一個公差為d(d≠0) 的等差數(shù)列, 其中O是坐標(biāo)原點. 記Sn=a1+a2+…+an.
(1) 若C的方程為=1,n=3. 點P1(3,0) 及S3=255, 求點P3的坐標(biāo);
(只需寫出一個)
(2)若C的方程為(a>b>0). 點P1(a,0), 對于給定的自然數(shù)n, 當(dāng)公差d變化時, 求Sn的最小值;
. (3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點P1, P2,…Pn存在的充要條件,并說明理由.
解析:(1) a1=2=100,由S3=(a1+a3)=255,得a3=3=70.
由 | =1 | ,得 | x=60 |
x+y=70 | y=10 |
∴點P3的坐標(biāo)可以為(2, ).
(2) 【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.
∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=2=a2+(n-1)d≥b2,
∴≤d<0. ∵n≥3,>0
∴Sn=na2+d在[,0)上遞增,
故Sn的最小值為na2+?=.
【解法二】對每個自然數(shù)k(2≤k≤n),
由 | x+y=a2+(k-1)d | ,解得y= |
+=1 |
∵0< y≤b2,得≤d<0
∴≤d<0
以下與解法一相同.
(3) 【解法一】若雙曲線C:-=1,點P1(a,0),
則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是d>0.
∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[,+∞),且=a2,
∴點P1, P2,…Pn存在當(dāng)且僅當(dāng)2>2,即d>0.
【解法二】若拋物線C:y2=2x,點P1(0,0),
則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是d>0.理由同上
【解法三】若圓C:(x-a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),
則對于給定的n, 點P1, P2,…Pn存在的充要條件是0<d≤.
∵原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2,
且=0, ∴d>0且2=(n-1)d≤4a2.即0<d≤.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(04年上海卷理)(14分)
已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函數(shù)f(x)的表達式;
(2) 證明:當(dāng)a>3時,關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(04年上海卷理)若函數(shù)y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=lg(x+1)的圖象繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到,則 f(x)=( )
(A) 10-x-1. (B) 10x-1. (C) 1-10-x. (D) 1-10x.
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