Question

已知函數(shù)

（1）若，試討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值1，求在區(qū)間上的最大值.

Answer 1

（1）函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（2）當(dāng)時，在上的最大值為；當(dāng)時, 在最大值為．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值1求得值，再進行討論利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.

試題解析：（1）當(dāng)時，，

易知函數(shù)為上的減函數(shù)，令得導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，

因為，因此，故導(dǎo)數(shù)值在為正，在為負，

所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（5分）

（2）由題意當(dāng)時，，

當(dāng)時， ，

依題意得，

經(jīng)檢驗符合條件，因此

當(dāng)時，，，

令得當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

			0		1
		+	0	—
		遞增	極大值1	遞減

由上表可知在上的最大值為.

當(dāng)時,.

，

令，

當(dāng)時，顯然恒成立，

當(dāng)時，

在單調(diào)遞減，所以恒成立.

此時函數(shù)在上的最大值為；

當(dāng)時，在上，

當(dāng)時, 在上

所以在上，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).

∴在最大值為，

，故函數(shù)在上最大值為.

綜上：當(dāng)時，在上的最大值為；

當(dāng)時, 在最大值為.（12分）

考點：1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.函數(shù)的最值；3.分類討論思想.