Question

20．如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)G．
（Ⅰ）求證：∠CHG=∠ABC；
（Ⅱ）求證：AB•GD=AD•HC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形的高的定義，可得∠HDB=∠HFB=90°，則四點(diǎn)H，F(xiàn)，B，D共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）連結(jié)CG，由同弧所對(duì)圓周角相等，證得Rt△ADB∽R(shí)t△GDC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）∵AD、CF分別是△ABC三邊的高，
∴AD⊥BC，CF⊥AB，
即有∠HDB=∠HFB=90°，
可得四點(diǎn)H，F(xiàn)，B，D共圓，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，
∠CHG=∠ABC．
（Ⅱ）連結(jié)CG，
∵∠ABC與∠AGC同弧圓周角，
∴∠ABC=∠AGC，
∵∠CHG=∠ABC，
∴∠CHG=∠AGC，
∴GC=HC，
在Rt△ADB和Rt△GDC中，
∵∠ABC=∠AGC，即∠ABD=∠CGD，
∴Rt△ADB∽R(shí)t△GDC，
∴$\frac{AB}{GC}=\frac{AD}{GD}$，
∴AB•GD=AD•GC，
又∵GC=HC，
∴AB•GD=AD•HC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓的判定和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．