Question

橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓C上一點(diǎn)，且滿足．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²，當(dāng)且僅當(dāng)MF₁=MF₂=a時(shí)，取等號(hào)
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴即
（2）令OP=m，則m∈[b，a]
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF₁²與PF₂²兩式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
則（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴
∵m∈[b，a]，∴
即，
∴t的取值范圍是．
分析：（1）在△MF₁F₂中，根據(jù)余弦定理得4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²結(jié)合基本不等式即可求得，當(dāng)且僅當(dāng)MF₁=MF₂=a時(shí)，a²≤4c²從而求橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）令OP=m，結(jié)合橢圓的定義由余弦定理可得（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²），得到最后利用放縮法即可求得t的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．