Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+sinx，（x∈R）．若當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x³+sinx，利用函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為：msinθ＞m-1，再利用0＜θ＜$\frac{π}{2}$，0＜sinθ＜1，即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+sinx，則f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{2}$時(shí)，f′（x）=3x²+cosx＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為：f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1），
∴msinθ＞m-1，
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$恒成立．
∵由0＜θ＜$\frac{π}{2}$知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，
∴m≤1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的值域、函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．