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13.已知正項數(shù)列{an}的前n項的和是Sn,且任意n∈N+,都有2Sn=a2n+an
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=|an-20|,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)由已知數(shù)列遞推式求得首項,再由2an=2Sn-2Sn-1整理得到an-an-1=1,可得數(shù)列{an}是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項公式可求;
(2)把數(shù)列{an}的通項公式代入bn=|an-20|,然后對n分類討論求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn

解答 解:(1)由題意知:當(dāng)n=1時,2S1=a12+a1,∴a12=a1,
得a1=1(an>0);
當(dāng)n≥2時,2an=2Sn-2Sn-1=an2+anan12+an1
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∴an-an-1=1,
∴數(shù)列{an}是以1為首項,公差為1的等差數(shù)列,
∴an=n;
(2)由(1)知an=n,
∴bn=|n-20|,
當(dāng)n≤20時,Tn=|1-20|+|2-20|+…+|n-20|=20n-(1+2+…+n)=39nn22;
當(dāng)n>20時,Tn=|1-20|+|2-20|+…+|20-20|+|21-20|+…+|n-20|=190+1+2+…+(n-20)
=190+n20n192=n239n+7602
綜上:Tn={39nn22n20n239n+7602n20

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差關(guān)系的確定,訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法,考查了等差數(shù)列的前n項和,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是中檔題.

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