Question

【題目】已知函數(shù)（），曲線在點處的切線與直線垂直.

（Ⅰ）試比較與的大小，并說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個不同的零點， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（I）切線與直線垂直，即在該點導(dǎo)數(shù)為，利用導(dǎo)數(shù)為列方程可求得的值.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得函數(shù)在上為減函數(shù)，故，化簡得.（II）不妨設(shè)因為，

所以化簡得， ，兩式相加和相減，利用分析法分析要證明的不等式，將不等式轉(zhuǎn)化為證，利用換元法和導(dǎo)數(shù)作為工具，可證明上述不等式成立.

試題解析：

解：（Ⅰ）依題意得， ，

所以，又由切線方程可得，即，解得.

此時， ，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

所以，即.

， .

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)因為，

所以化簡得， .

可得， ，

要證明， 即證明，也就是.

因為，所以即證，

即，令，則，即證.

令（）.由 ，

故函數(shù)在是增函數(shù)，所以，即得證.

所以.