【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對(duì)定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.

(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；

(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】證明： (1)因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1、x2都有

f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

令x1＝x，x2＝－1，

則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．

再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，

從而f(－1)＝0，

于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．

(2)設(shè)0<x1<x2，

則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·)＝f(x1)－[f(x1)＋f()]＝－f()，

由于0<x1<x2，所以>1，從而f()>0，

故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（3）當(dāng)時(shí)，若，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn= + +…+ ，則Sn的整數(shù)部分的所有可能值構(gòu)成的集合是（ ）
A.{0，1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2}
D.{0，2}

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【題目】已知f(x)＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a≥0)．

(1)將f(x)表示成u(其中u＝)的函數(shù)；

(2)求f(x)的最小值．

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【題目】函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )

A. 是偶函數(shù) B. 的值域是

C. 方程的解只有 D. 方程的解只有

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【題目】設(shè)集合A=[0， ），B=[ ，1]，函數(shù)f （x）= ，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，則x0的取值范圍是（ ）
A.（0， ]
B.[ ， ]
C.（ ， ）
D.[0， ]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且它在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若a=f（ ），b=f（ ），c=f（﹣2），則a，b，c的大小關(guān)系是（從小到大排）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：△CDE為等腰三角形；
（2）若AD=2， = ，求⊙O的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定橢圓，稱圓為橢圓的“伴隨圓”.已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)

（1）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求被橢圓的伴隨圓所截得的弦長(zhǎng)：

（2）是橢圓上的兩點(diǎn)，設(shè)是直線的斜率，且滿足，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)，如果過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過(guò)定點(diǎn)，試說(shuō)明理由。

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