Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=a_n-

3n

2n+1

（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）試比較T_n與

3n

2n+1

的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用累加法即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）利用錯(cuò)位相減法，可以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）需要驗(yàn)證，根據(jù)n=1，2時(shí)，和n≥3，得到T_n與

3n

2n+1

的大小

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=

1

2

-（2^-2+2^-3+…+2^-n）=

1

2

-

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2n

又a₁=

1

2

，也適合上式，
所以a_n=

1

2n

（n∈N^*）．
（2）由（1）得a_n=

1

2n

，所以b_n=na_n=

n

2n

，
∴T_n=1×2×2^-2+…+n×2^-n，①，
∴

1

2

T_n=1×2^-2+2×2^-3+…+n×2^-n-1，②．----------------------------7
由①-②得，

1

2

T_n=2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^-n-n×2^-n-1，
∴T_n=1+2^-1+2^-2+2^-3+2^-4+…+2^1-n-n×2^-n=

1-2-n

1- 1 2

-n×2^-n=2-

n+2

2n

（3）因?yàn)門_n-

3n

2n+1

=（2-

3n

2n+1

）-

n+2

2n

=

n+2

2n+1

-

n+2

2n

=

(n+2)(2n-2n-1)

(2n+1)2n

所以確定T_n與

3n

2n+1

的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大�。�
當(dāng)n=1時(shí)，2¹＜2×1+1；
當(dāng)n=2時(shí)，2²＜2×2+1；
當(dāng)n=3時(shí)，2³＞2×3+1；
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴＜2×4+1；
可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ＜2n+1；
綜上所述，當(dāng)n=1或n=2時(shí)，T_n＜

3n

2n+1

；
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞

3n

2n+1

點(diǎn)評：本題主要考查了遞推數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法以及利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題