在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓交于A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，A，B，C，D恰好為一個(gè)正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　�。�
分析：如圖，連接AF2，結(jié)合正六邊形的性質(zhì)得∠F1AF2=90°．Rt△AF1F2中，|F1F2|=2c，|AF1|=c，可得|AF2|=
3
c，結(jié)合橢圓的定義得：|AF1|+|AF2|=（1+
3
）c=2a，再結(jié)合離心率公式即可算出該橢圓的離心率．
解答：解：如圖，連接AF2，可得等腰△ABF2中，∠B=120°
∴∠BAF2=∠AF2B=30°
因此∠F1AF2=120°-30°=90°
Rt△AF1F2中，|F1F2|=2c，|AF1|=c
∴|AF2|=
3
c，得|AF1|+|AF2|=（1+
3
）c=2a
因此，橢圓的離心率e=
c
a
=
2c
2a
=
2c
(1+
3
)c
=
3
-1
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓的焦距恰好是其內(nèi)接正六邊形的長(zhǎng)對(duì)角線，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與基本概念、正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2 
b2
=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上，且
PF1
•
F1F2
=0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)
OA
•
OB
=λ，且滿足
2
3
≤λ≤
3
4
時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞1)上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為
27
8
，則實(shí)數(shù)a的值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•溫州二模）橢圓
x2
a2
+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，則該橢圓的離心率為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+y2=1(a＞1)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上，且|
OP
|=|
OF
|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△OPF的面積S=
1
2
a2-1
1
2
a2-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A(4，
12
5
)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三點(diǎn)在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上，△ABC的重心與此橢圓的右焦點(diǎn)F（3，0）重合
（1）求橢圓方程
（2）求BC的方程．

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