Question

11．在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為1．
（1）求證：B₁D⊥平面AD₁C；
（2）求二面角D₁-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B₁D⊥平面AD₁C．
（2）求出平面AB₁C的一個法向量和平面AD₁C的一個法向量，由此能求出二面角D₁-AC-B₁的余弦值．

解答 證明：（1）以D為坐標原點，DA、DC、DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
如圖，則D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），C（0，1，0），
設平面AD₁C的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
又$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∴平面AD₁C的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
又$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），∴B₁D⊥平面AD₁C．
解：（2）$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設平面AB₁C的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-a+b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
設二面角D₁-AC-B₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+1-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角D₁-AC-B₁的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．