Question

【題目】在銳角△ABC中，分別為A、B、C所對的邊，且

（1）確定角C的大��；

（2）若c＝，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C=60°；（2）（+3，]．

【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，根據三角形是銳角三角形求得的大小.（2）利用正弦定理將轉化為角度來表示，求得三角形周長的表達式，利用三角函數求取值范圍的方法，求得三角形周長的取值范圍.

解:（1）已知a、b、c分別為A、B、C所對的邊，

由a＝2csinA，

得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，則sinC=，

∴C=60°或C=120°,

∵△ABC為銳角三角形，∴C=120°舍去�！�C=60°

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，

即B=-A

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2 [sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，

∵△ABC是銳角三角形，

∴＜A＜，

∴＜sin（A+）≤1，

則△ABC周長的取值范圍是（+3，]．