Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin（x+

π

6

）+2sin²

x

2

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[

π

3

，

4π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，即可求得結(jié)論；
（2）由

π

3

≤x≤

4π

3

得

π

6

≤x-

π

6

≤

7π

6

，-

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1，故

1

2

≤sin(x-

π

6

)+1≤2，即可求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1∴T=2π．
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)得-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ(k∈Z)
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ](k∈Z)
（2）由

π

3

≤x≤

4π

3

得

π

6

≤x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1∴

1

2

≤sin(x-

π

6

)+1≤2，即∴

1

2

≤y≤2．
所以f（x）的值域?yàn)?span id="wbl57tz" class="MathJye">[

1

2

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換及三角函數(shù)求定區(qū)間上的最值等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．