分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由橢圓可得{a2−b2=1(1)34a2+32b2=1(2),解出即可得出.
(Ⅱ)解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入橢圓方程可得(3k2+2)x2-6k2x+3(k2-2)=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得N的坐標,可得AB的垂直平分線NG的方程為,進而得出.
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),把點A,B的坐標分別代入橢圓方程相減可得:(x1−x2)(x1+x2)3+(y1−y2)(y1+y2)2=0,利用中點坐標公式、斜率計算公式可得斜率k=-2x03y0,又k=y0x0−1,可得−2x03y0=y0x0−1,又(x0,y0)在橢圓內(nèi),即x203+y202<1,可得0<x0<1,利用AB的垂直平分線為y−y0=3y02x0(x−x0),即可得出.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
則{a2−b2=1(1)34a2+32b2=1(2)
由(2)得6a2+3b2=4a2b2(3)
由(1)得b2=a2-1代入(3)得6a2+3(a2-1)=4a2(a2-1),
即4a4-13a2+3=0,即(4a2-1)(a2-3)=0a2=3,或a2=14
∵a2>1,∴a2=3,得a=√3,
∴b2=2,b=√2,
∴橢圓方程為x23+y22=1.
(Ⅱ)解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入x23+y22=1,整理得(3k2+2)x2-6k2x+3(k2-2)=0,
∵直線AB過橢圓的左焦點F,∴方程有兩個不等實根,
則x1+x2=6k23k2+2,y1+y2=k(x1+x2−2)=−4k3k2+2,
∴x0=3k23k2+2,y0=−2k3k2+2,
∴AB的垂直平分線NG的方程為y+2k3k2+2=−1k(x−3k23k2+2),
y=0時,xG=k23k2+2=13−23(3k2+2),
∵k≠0,∴3(3k2+2)>6,0<23(3k2+2)<13,0<13−23(3k2+2)<13,
∴0<xG<13.
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
由{x213+y212=1(1)x223+y222=1(2),(1)-(2)得(x1−x2)(x1+x2)3+(y1−y2)(y1+y2)2=0,
斜率k=y1−y2x1−x2=−2(x1+x2)3(y1+y2)=−2x03y0,
又k=y0x0−1,∴−2x03y0=y0x0−1,
∴2x0(x0−1)=−3y20<0,得0<x0<1,
∵(x0,y0)在橢圓內(nèi),即x203+y202<1,
將y20=−2x0(x0−1)3代入得x203+x0−x203<1,
解得x0<3
∴0<x0<1,
則AB的垂直平分線為y−y0=3y02x0(x−x0),y=0時,x=13x0∈(0,13).
點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、中點坐標公式、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {2} | B. | {3} | C. | {1,2,3,5} | D. | {1,2,3,4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4,6,1,7 | B. | 7,6,1,4 | C. | 1,6,4,7 | D. | 6,4,1,7 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a2=112 | B. | a2=11 | C. | b2=12 | D. | b2=2 |
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