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2.已知橢圓C以坐標軸為對稱軸,以坐標原點為對稱中心,橢圓的一個焦點為F(1,0),點M3262在橢圓上,
(Ⅰ)求橢圓C的方程.
(Ⅱ)斜率為k的直線l過點F且不與坐標軸垂直,直線l交橢圓于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標的取值范圍.

分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1ab0,由橢圓可得{a2b2=1134a2+32b2=12,解出即可得出.
(Ⅱ)解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),代入橢圓方程可得(3k2+2)x2-6k2x+3(k2-2)=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得N的坐標,可得AB的垂直平分線NG的方程為,進而得出.
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),把點A,B的坐標分別代入橢圓方程相減可得:x1x2x1+x23+y1y2y1+y22=0,利用中點坐標公式、斜率計算公式可得斜率k=-2x03y0,又k=y0x01,可得2x03y0=y0x01,又(x0,y0)在橢圓內(nèi),即x203+y2021,可得0<x0<1,利用AB的垂直平分線為yy0=3y02x0xx0,即可得出.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1ab0,
{a2b2=1134a2+32b2=12
由(2)得6a2+3b2=4a2b2(3)
由(1)得b2=a2-1代入(3)得6a2+3(a2-1)=4a2(a2-1),
即4a4-13a2+3=0,即(4a2-1)(a2-3)=0a2=3,或a2=14
∵a2>1,∴a2=3,得a=3,
∴b2=2,b=2
∴橢圓方程為x23+y22=1
(Ⅱ)解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入x23+y22=1,整理得(3k2+2)x2-6k2x+3(k2-2)=0,
∵直線AB過橢圓的左焦點F,∴方程有兩個不等實根,
x1+x2=6k23k2+2,y1+y2=kx1+x22=4k3k2+2
x0=3k23k2+2,y0=2k3k2+2,
∴AB的垂直平分線NG的方程為y+2k3k2+2=1kx3k23k2+2,
y=0時,xG=k23k2+2=13233k2+2,
∵k≠0,∴3(3k2+2)>6,0233k2+213,013233k2+213,
0xG13
解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點N(x0,y0),
{x213+y212=11x223+y222=12,(1)-(2)得x1x2x1+x23+y1y2y1+y22=0,
斜率k=y1y2x1x2=2x1+x23y1+y2=2x03y0,
k=y0x01,∴2x03y0=y0x01,
2x0x01=3y200,得0<x0<1,
∵(x0,y0)在橢圓內(nèi),即x203+y2021,
y20=2x0x013代入得x203+x0x2031,
解得x0<3
∴0<x0<1,
則AB的垂直平分線為yy0=3y02x0xx0,y=0時,x=13x0013

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、中點坐標公式、不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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