【題目】如圖,在五面體中,四邊形是邊長為的正方形,平面,,,,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正切值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)取的中點(diǎn),先證明四邊形為平行四邊形得到,然后通過勾股定理證明從而得到,然后結(jié)合四邊形為正方形得到,最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面;(2)解法1是先取的中點(diǎn),連接,利用(1)中的結(jié)論平面得到,利用等腰三角形三線合一得到,利用直線與平面垂直的判定定理得到平面,通過證明四邊形為平行四邊形得到,從而得到平面,從而得到,然后利用底面四邊形為正方形得到,由這兩個(gè)條件來證明平面,從而得到是直線與平面所成的角,然后在直角中計(jì)算,從而求出直線與平面所成角的正切值;解法2是先取的中點(diǎn),連接,利用(1)中的結(jié)論平面得到,利用等腰三角形三線合一得到,利用直線與平面垂直的判定定理得到平面,然后選擇以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出線與平面所成角的正切值.
試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接,則,
由(1)知,,且,四邊形為平行四邊形,
,,
在中,,又,得,,
在中,,,,
,,,即,
四邊形是正方形,,
,平面,平面,平面;
(2)解法1:連接,與相交于點(diǎn),則點(diǎn)是的中點(diǎn),
取的中點(diǎn),連接、、,
則,.
由(1)知,且,,且.
四邊形是平行四邊形.,且,
由(1)知平面,又平面,.
,,平面,平面,
平面.平面.
平面,.
,,平面,平面,平面.
是直線與平面所成的角.
在中,.
直線與平面所成角的正切值為;
解法2:連接,與相交于點(diǎn),則點(diǎn)是的中點(diǎn),
則,.由(1)知,且,,且.
四邊形是平行四邊形.
,且,
由(1)知平面,又平面,.
,,平面,平面,
平面.平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,.
,,.
設(shè)平面的法向量為,由,,
得,,得.
令,則平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)直線與平面
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx與g(x)=log4(a2x﹣a),其中f(x)是偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)g(x)的定義域;
(3)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù)f(x)= (a>0且a≠1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并加以證明;
(Ⅲ)設(shè)a=,解不等式f(x)>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , 為不同的直線, , , 不同的平面,則下列判斷正確的是()
A. 若, , ,則 B. 若, ,則
C. 若, ,則 D. 若, , , ,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在不為零的常數(shù),使得函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任一均有,則稱函數(shù)為周期函數(shù),其中常數(shù)就是函數(shù)的一個(gè)周期.
(1)證明:若存在不為零的常數(shù)使得函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)的任一均有,則此函數(shù)是周期函數(shù).
(2)若定義在上的奇函數(shù)滿足,試探究此函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)零點(diǎn)的最少個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需要另投入成本為C(x),當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),C(x)= +20x(萬元),當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),C(x)=51x+ ﹣1450(萬元),通過市場分析,每件商品售價(jià)為0.05萬元時(shí),該商品能全部售完.
(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式(利潤=銷售額﹣成本);
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),生產(chǎn)該商品獲得的利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果函數(shù)f(x)=ax2+2x﹣3在區(qū)間(﹣∞,4)上是單調(diào)遞增的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)用“五點(diǎn)法”在如圖所示的虛線方框內(nèi)作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖(要求:列表與描點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系);
(2)函數(shù)的圖像可以通過函數(shù)的圖像經(jīng)過“先伸縮后平移”的規(guī)則變換而得到,請寫出一個(gè)這樣的變換!
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(+x)cos(-x),g(x)=sin 2x-.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
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