Question

12．下列敘述中，正確的個數(shù)是（　�。�
①命題p：“?x∈[2，+∞），x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈（-∞，2），x²-2＜0”；
②O是△ABC所在平面上一點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$，則O是△ABC的垂心；
③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要條件；
④函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）的最小正周期是π．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出命題p的否定形式可判斷①，由已知條件得到OB⊥AC，同理可得O是△ABC三條高線的交點可判斷②，由二倍角公式和正弦定理可判斷③，直接求出函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）的最小正周期可判斷④．

解答 解：對于①，命題p：“?x∈[2，+∞），x²-2≥0”的否定形式為￢p：“?x∈[2，+∞），x²-2＜0”，故①錯誤；
對于②，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$，得到$\overrightarrow{OB}（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）=0$，又$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AC}$，得$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=0$，可得OB⊥AC，因此，點O在AC邊上的高BE上，同理可得：O點在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上，即點O是△ABC三條高線的交點，因此，點O是△ABC的垂心，故②正確；
對于③，在△ABC中，cos2A＞cos2B?1-2sin²A＞1-2sin²B?sin²A＜sin²B?sinA＜sinB?a＜b?A＜B，
∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要條件，故③正確；
對于④，y=sin（2x+$\frac{π}{3}}$）sin（${\frac{π}{6}-$2x）=$\frac{1}{2}sin（4x+\frac{2π}{3}）$，∴T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，故④錯誤．
∴正確的個數(shù)是：2．
故選：B．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了充要條件及三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．