Question

5．已知定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果對(duì)任意的x∈D，存在正數(shù)m，使得|f（x）|≤mx²恒成立，那么稱函數(shù)f（x）是D上的“倍平方的約束函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}$，②f（x）=2^x，③f（x）=（k²+1）x+1，④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；其中是“倍平方約束函數(shù)”的是①③④（只填正確選項(xiàng)的序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)“倍平方的約束函數(shù)”的新定義對(duì)任意的x∈D，存在正數(shù)m，使得|f（x）|≤mx²恒成立進(jìn)行考察選項(xiàng)，對(duì)于①：$|\frac{1}{2}{x}^{2}|≤m{x}^{2}$，對(duì)于任意的x，只需要$m≥\frac{1}{2}$即可成立即可．
對(duì)于②f（x）=2^x，由題意：|2^x|≤mx²，∵函數(shù)2^x的圖象增長(zhǎng)變化比x²的變化快，不一定存在．
對(duì)于③f（x）=（k²+1）x+1，∵|（k²+1）x+1|對(duì)于任意的x最小值為≥0，即0≤mx²恒成立．
對(duì)于④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；分類x≠0時(shí)，x=0時(shí)討論，轉(zhuǎn)化為$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|≤m$，最值問題．

解答 解：對(duì)于①$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}$，由題意：$|\frac{1}{2}{x}^{2}|≤m{x}^{2}$，對(duì)于任意的x，只需要$m≥\frac{1}{2}$即可成立，∴存在正數(shù)m，故①對(duì)．
對(duì)于②f（x）=2^x，由題意：|2^x|≤mx²，對(duì)于任意的x，∵函數(shù)2^x的圖象增長(zhǎng)變化比x²的變化快，∴對(duì)任意的x，不一定存在正數(shù)m，使得|f（x）|≤mx²恒成立．故②不對(duì)．
對(duì)于③f（x）=（k²+1）x+1，由題意：|（k²+1）x+1|≤mx²，∵|（k²+1）x+1|對(duì)于任意的x最小值為≥0，即0≤mx²，那么：對(duì)于任意的x，存在正數(shù)m使得mx²≥0恒成立，故③對(duì)．
對(duì)于④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；由題意：|$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-x+1}$|≤mx²，當(dāng)x≠0時(shí)，轉(zhuǎn)化為$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|≤m$，∵$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|=|\frac{1}{{x}^{2}-x+1}|=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}≤\frac{4}{3}$，∴m$≥\frac{4}{3}$恒成立，當(dāng)x=0時(shí)，則有f（x）=0，對(duì)于任意的x，存在正數(shù)m使得mx²≥0恒成立．故④對(duì)．綜上所述：正確的是①③④．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，轉(zhuǎn)化思想，分析能力和綜合應(yīng)用能力．屬于難題．