Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+

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)+f(x)=0，且函數(shù)f(x+

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4

)為奇函數(shù)．給出下列結(jié)論：①函數(shù)f（x）的最小正周期是

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2

；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

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4

，0）對(duì)稱；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對(duì)稱；④函數(shù)f（x）的最大值為f(

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2

)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：①：由題意可得f（x+5）=-f（x+

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）=f（x）則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為5；②：由y=f（x+

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4

）是奇函數(shù)可得其圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，由y=f（x+

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4

）向右平移

5

4

個(gè)單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

5

4

，0）對(duì)稱；③：f（x+

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）+f（x）=0，f（-x+

5

2

）+f（-x）=0，則f（-x+

5

2

）=f（x+

5

2

），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5

2

對(duì)稱；④：函數(shù)f（x）的最大值不為f(

5

2

)．

解答：解：①：由題意可得f（x+5）=-f（x+

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）=f（x）則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)且其周期為5，故①錯(cuò)誤；
②：由y=f（x+

5

4

）是奇函數(shù)可得其圖象關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，由y=f（x+

5

4

）向右平移

5

4

個(gè)單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

5

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，0）對(duì)稱，故②正確；
③：f（x+

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）+f（x）=0
f（-x+

5

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）+f（-x）=0
則f（-x+

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）=f（x+

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2

）
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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對(duì)稱，故③正確；
④：函數(shù)f（x）的最大值不為f(

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)，故④不正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．