（13分）已知F1、F2是橢圓c1：(a>b>0)的左、右焦點，A為右頂點，P為橢圓c1上任意一點，且最大值的取值范圍是[c2,3c2]，c2=a2-b2.（1）求橢圓c1離心率e的取值范圍；（2）設(shè)雙曲線c2以橢圓c1焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線c2在第一象限上任意一點，當橢圓c1離心率e取得最小值時，問是否存在正常數(shù)λ使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，請說明理由.
（1）（2）λ=2
（1）設(shè)P(x,y)，則，.∴，將代入得，0≤x2≤a2，當x2=a2時得，又c2≤b2≤3c2，即c2≤a2-c2≤3c2，∴.∴.
（2）當時，a=2c，b=，∴，A(2c,0).設(shè)B(x0,y0),(x0,y0>0)，則，當AB⊥x軸時，則，∴，故.由此猜想λ=2可使總成立，證明如下：
當x0≠2c時，，，∴,
將代入得.
又∵2∠BF1A與∠BAF1同在區(qū)間(0,)∪()內(nèi)，∴2∠BF1A=∠BAF1.
故存在λ=2，使恒成立.
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（本題滿分16滿分）設(shè)A、B分別為橢圓(a>b>0)的左右頂點,P為直線x=u上不同于(u,0)的任一點,若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B的點M、N,研究點B與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系.

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過橢圓左焦點F，傾斜角為
π
3
的直線交橢圓于A，B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為______．

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