Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓幾何條件得，又離心率為得，解方程組得，，

（Ⅱ）先將向量條件坐標(biāo)化，即由得，

，，

再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，

代入判別式大于零表達(dá)式化簡(jiǎn)得或．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為. 依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，得．解得，．所以．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．

（2）解：存在直線，使得成立.理由如下：

由得．

，化簡(jiǎn)得．

設(shè)，則，．

若．所以．，

，,

化簡(jiǎn)得，．將代入中，，

解得，．又由，，

從而，或．

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．