Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²+bx．
（1）如果函數(shù)f（x）在x=1處取得極值0，求實數(shù)a、b的值；
（2）若b=-2a-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意求導，從而可得

0+a+b=0 1+2a+b=0

，從而求實數(shù)a、b的值；
（2）寫出函數(shù)的定義域，求導f′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，討論a的取值范圍，從而確定導數(shù)的正負，再確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′（x）=

1

x

+2ax+b，
故

0+a+b=0 1+2a+b=0

，
解得，a=-1，b=1；
（2）由題意，函數(shù)f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①當a≤0時，2ax-1＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）；
②當0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），[

1

2a

，+∞）單調(diào)減區(qū)間為[1，

1

2a

）；
③當2a=1，即a=

1

2

時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
④當2a＞1，即a＞

1

2

時，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2a

），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[

1

2a

，1]．

點評：本題綜合考查了導數(shù)的應用，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．