Question

6．如圖，在△ABC中，已知O為邊BC的中點，∠A0B=60°，AB=10．
（1）當OA=4$\sqrt{3}$時，求△ABC的面積；
（2）設(shè)AC=x，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理求出B的正弦，進一步求出BC上的高，進一步求出OB的長度，由三角形面積公式求得；
（2）利用正弦定理將OB用角BAO表示，根據(jù)角度范圍求出OB范圍，再由三邊關(guān)系得到所求．

解答 解：（1）在△AOB中，$\frac{OA}{sinB}=\frac{AB}{sin∠AOB}$，則sinB=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{3}{5}$，所以BC邊上的高AD=ABsinB=10×$\frac{3}{5}$=6，
所以O(shè)B=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+10×$\frac{3}{5}$=2$\sqrt{3}$+6，所以△ABC的面積2×$\frac{1}{2}$OB×AD=（2$\sqrt{3}$+6）×6=12（$\sqrt{3}$+3）；
（2）在△AOB中，設(shè)∠BAO=α，則$\frac{OB}{sinα}=\frac{AB}{sin60°}$，所以O(shè)B=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinα，又0≤α＜120°，又BC=2OB，所以BC≤$\frac{40\sqrt{3}}{3}$，
在△ABC中，BC-AB＜AC＜AB+BC即$\frac{40\sqrt{3}}{3}-10$＜x＜$\frac{40\sqrt{3}}{3}+10$．

點評 本題主要考查了利用正弦定理解三角形；屬于中檔題．