Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

…，則a₁₅=

 

；若存在正整數(shù)k，使S_k-1＜10，S_k＞10，則a_k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：把原數(shù)列劃分成如下規(guī)則排列：

1

2

；

1

3

，

2

3

；

1

4

，

2

4

，

3

4

；

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

；

1

6

…； …然后發(fā)現(xiàn)他們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5…構(gòu)建新數(shù)列b_n，很顯然是個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的和知道前5項(xiàng)的和為

15

2

，前6項(xiàng)的和為

21

2

，所以a_k定在

1

7

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

6

7

中，在根據(jù)S_k-1＜10，S_k≥10求出具體結(jié)果．

解答： 解答：解：由題意可得，分母為2的有一個(gè)，分母為3的有2個(gè)，分母為4的有3個(gè)，分母為5的有4個(gè)，分母為6的有5個(gè)，…
由于1+2+3+4+5=15，故a₁₅=

5

6

．
把原數(shù)列分組，分母相同的為一組：

1

2

；

1

3

，

2

3

；

1

4

，

2

4

，

3

4

；

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

；

1

6

…；
發(fā)現(xiàn)他們的個(gè)數(shù)是1，2，3，4，5…
構(gòu)建新數(shù)列b_n，表示數(shù)列中每一組的和，則bn=

n

2

是個(gè)等差數(shù)列，記b_n的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
利用等差數(shù)列的和知道T5=

15

2

，T6=

21

2

，
所以a_k定在

1

7

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

6

7

中，又因?yàn)镾_k-1＜10，S_k≥10，而T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

=9+

9

14

＜10，
T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

+

6

7

=10+

1

2

＞10，
故第k項(xiàng)為a_k=

6

7

．
故答案為：

5

6

，

6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題目主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列的觀察能力，找出數(shù)列之間的相互關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和計(jì)算公式，根據(jù)已有條件計(jì)算．考查學(xué)生的計(jì)算能力．