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4.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f′(x)+f(x)=2xe-x,若f(0)=1,則函數(shù)fxfx的取值范圍為( �。�
A.[-2,0]B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,2]

分析 由題意可得g′(x)=exf(x)+exf′(x)=2x,得到g(x)=x2+c(其中c為常數(shù)),進一步可得f(x)=x2+cex,結合f(0)=1求得c=1,得到f(x)的解析式,求導后可得fxfx=2xx21x2+1=1+2xx2+1,然后對x分類求得函數(shù)fxfx的取值范圍.

解答 解:由f′(x)+f(x)=2xe-x,
fx+fxex=2x,即exf′(x)+exf(x)=2x,
令g(x)=exf(x),則g′(x)=exf(x)+exf′(x)=2x,
∴g(x)=x2+c(其中c為常數(shù)),
∴f(x)=x2+cex,
又f(0)=1,
∴c=1,則f(x)=x2+1ex,
∴f′(x)=2xx21ex
fxfx=2xx21x2+1=1+2xx2+1,
當x=0時,fxfx=1,
當x≠0時,fxfx=1+2x+1x
x+1x2][2+,
fxfx∈[-2,0].
故選:A.

點評 本題考查導數(shù)的運算,考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,考查了函數(shù)構造法,訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值,題目設置難度較大.

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