Question

4．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f′（x）+f（x）=2xe^-x，若f（0）=1，則函數(shù)$\frac{f′（x）}{f（x）}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，0]
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由題意可得g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=2x，得到g（x）=x²+c（其中c為常數(shù)），進一步可得f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{{e}^{x}}$，結合f（0）=1求得c=1，得到f（x）的解析式，求導后可得$\frac{f′（x）}{f（x）}=\frac{2x-{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}=-1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，然后對x分類求得函數(shù)$\frac{f′（x）}{f（x）}$的取值范圍．

解答 解：由f′（x）+f（x）=2xe^-x，
得$\frac{f′（x）+f（x）}{{e}^{-x}}=2x$，即e^xf′（x）+e^xf（x）=2x，
令g（x）=e^xf（x），則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=2x，
∴g（x）=x²+c（其中c為常數(shù)），
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{{e}^{x}}$，
又f（0）=1，
∴c=1，則f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{2x-{x}^{2}-1}{{e}^{x}}$，
∴$\frac{f′（x）}{f（x）}=\frac{2x-{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}=-1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
當x=0時，$\frac{f′（x）}{f（x）}=-1$，
當x≠0時，$\frac{f′（x）}{f（x）}=-1+\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
∵$x+\frac{1}{x}∈（-∞，-2]∪[2，+∞）$，
∴$\frac{f′（x）}{f（x）}$∈[-2，0]．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運算，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)構造法，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，題目設置難度較大．