Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是被AD、PC的中點(diǎn)，
（1）求證：DN∥平面PMB；
（2）求證：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求三棱錐A-PMB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證DN∥平面PMB，只要證DN∥MQ；
（2）要證平面PMB⊥平面PAD，只要證MB⊥平面PAD；
（3）利用PD是三棱錐P-AMB的高PD=2，棱錐A-PMB的體積=棱錐P-AMB的體積，利用棱錐的體積公式解之．

解答： 解：（1）證明：取PB的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ，
∵M(jìn)，N分別是棱AD，PC的中點(diǎn)，
∴QN∥BC∥MD，并且QN=MD，
∴四邊形MDNQ為平行四邊形，
∴DN∥MQ，又MQ?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB；
（2）∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB；
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴MB⊥AD，
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD，
又MB?平面PMB，
∴平面PMB⊥平面PAD；
（3）∵PD⊥平面ABCD，∴PD是三棱錐P-AMB的高PD=2，
∵S△ABM=

1

2

S△ABD=

3

2

，
∴VA-PMB=VP-AMB=

1

3

PD×S△ABM=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體棱錐中線(xiàn)面平行和面面垂直的判斷以及棱錐體積的求法；關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系解答．