Question

湛江為建設(shè)國(guó)家衛(wèi)生城市，現(xiàn)計(jì)劃在相距20 km的赤坎區(qū)（記為A）霞山區(qū)（記為B）兩城區(qū)外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)市區(qū)的影響度與所選地

點(diǎn)到市區(qū)的距離有關(guān)，對(duì)赤坎區(qū)和霞山區(qū)的總影響度為兩市區(qū)的影響度之和，記C點(diǎn)到赤坎區(qū)的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)兩市區(qū)的總影響度為y.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)赤坎區(qū)的影響度與所選地點(diǎn)到赤坎區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)霞山區(qū)的影響度與所選地點(diǎn)到霞山區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k.當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)兩市區(qū)的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到赤坎區(qū)的距離；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件中描述：垃圾處理廠對(duì)赤坎區(qū)的影響度與所選地點(diǎn)到赤坎區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)霞山區(qū)的影響度與所選地點(diǎn)到霞山區(qū)的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，而y表示建在C處的垃圾處理廠對(duì)兩市區(qū)的總影響度為y，因此可設(shè)，根據(jù)題意當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)兩市區(qū)的總影響度為0.065可求得k的值；（2）由(1)，，可求得，進(jìn)而可以得到y(tǒng)的在(0,20)上的單調(diào)性，從而求得y的最小值.

(1)如圖，由題意知AC⊥BC，AC＝x km，則，

2分

由題意知，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065，即當(dāng)時(shí)，y＝0.065，代入得k＝9.所以y表示成x的函數(shù)為． 6分；

（2）由于，∴ 8分

令得或(舍去)， 9分

當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù) 12分

所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到赤坎區(qū)的距離為時(shí)，函數(shù)有最小值 14分.

考點(diǎn)：1、具體情境下函數(shù)解析式的求解；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值.