Question

2012年10月莫言獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)后，其家鄉(xiāng)山東高密政府準(zhǔn)備投資6.7億元打造旅游帶，包括莫言舊居周圍的莫言文化體驗(yàn)區(qū)，紅高粱文化休閑區(qū)，愛(ài)國(guó)主義教育基地等；為此某文化旅游公司向社會(huì)公開(kāi)征集旅游帶建設(shè)方案，在收到的方案中甲、乙、丙三個(gè)方案引起了專家評(píng)委的注意，現(xiàn)已知甲、乙、丙三個(gè)方案能被選中的概率分別為

2

5

，

3

4

，

1

3

，且假設(shè)各自能否被選中是無(wú)關(guān)的．
（1）求甲、乙、丙三個(gè)方案只有兩個(gè)被選中的概率；
（2）記甲、乙、丙三個(gè)方案被選中的個(gè)數(shù)為ξ，試求ξ的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：記甲、乙、丙三個(gè)方案被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=

2

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

1

3

；
（1）“只有兩個(gè)方案被選中”可分為三種情形：①甲未被選中，乙、丙被選中，②乙未被選中，甲、丙被選中，③丙未被選中，甲、乙被選中，從而求概率；
（2）由題意可知ξ的可能取值為0，1，2，3．求其概率從而求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：記甲、乙、丙三個(gè)方案被選中的事件分別為A，B，C，則P（A）=

2

5

，P（B）=

3

4

，P（C）=

1

3

．
（1）“只有兩個(gè)方案被選中”可分為三種情形：
①甲未被選中，乙、丙被選中，概率為P₁=

3

5

×

3

4

×

1

3

=

3

20

．
②乙未被選中，甲、丙被選中，概率為P₂=

2

5

×

1

4

×

1

3

=

1

30

．
③丙未被選中，甲、乙被選中，概率為P₃=

2

5

×

3

4

×

2

3

=

1

5

．
以上三種情況是互斥的．因此只有兩個(gè)方案被選中的概率為P=

3

20

+

1

5

+

1

30

=

23

60

．
（2）由題意可知ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=

3

5

×

1

4

×

2

3

=

1

10

；
P（ξ=1）=

2

5

×

1

4

×

2

3

+

2

3

×

3

5

×

3

4

+

1

4

×

3

5

×

1

3

=

25

60

；
由（1）知P（ξ=2）=

23

60

；
P（ξ=3）=

2

5

×

3

4

×

1

3

=

1

10

．
故Eξ=0×

1

10

+1×

25

60

+2×

23

60

+3×

1

10

=

89

60

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．