Question

求1，3a，5a²，7a³，…（2n-1）a^n-1的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當a=1時，數(shù)列變?yōu)?，3，5，7，…，（2n-1），S_n=

n[1+2(n-1)]

2

=n²．當a≠1時，S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1，利用錯位相減法能求出結(jié)果．

解答： 解：當a=1時，數(shù)列變?yōu)?，3，5，7，…，（2n-1），則S_n=

n[1+2(n-1)]

2

=n²．
當a≠1時，有，
S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1，①
aS_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ．②
①-②得S_n-aS_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ，
（1-a）S_n=1-（2n-1）aⁿ+2（a+a²+a³+a⁴+…+a^n-1）
=1-（2n-1）aⁿ+2•

a(1-an-1)

1-a

=1-（2n-1）aⁿ+

2(1-an)

1-a

．
又1-a≠0，
∴S_n=

1-(2n-1)an

1-a

+

2(a-an)

(1-a)2

．
綜上，S_n=

n2，a=1 1-(2n-1)an 1-a + 2(a-an) (1-a)2 ，a≠1

．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想和錯位相減法的合理運用．