Question

體積為288π的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐P-ABC，球心恰好在底面正△ABC內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從P點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，則經(jīng)過(guò)的最短路程為

14π

．

Answer 1

分析：由題意，如圖，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從P點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)其余三點(diǎn)后返回，經(jīng)過(guò)的最短路程是經(jīng)過(guò)A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四點(diǎn)間的球面距離的和即得所求答案，由圖及題意可知球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°，由球體積是288π計(jì)算出球的半徑，再由弧長(zhǎng)公式求出四段弧長(zhǎng)，即可求得答案

解答：解：由題意，可做出此球的內(nèi)接正三棱錐，如圖O是球心OA=OB=OC=OP=r
由圖，動(dòng)點(diǎn)P點(diǎn)出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四點(diǎn)間的球面距離的和即為所經(jīng)過(guò)的最短路程
由題意，球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°
又球的體積是288π，即有

4πr3

3

=288π，解得r=6
經(jīng)過(guò)的最短路程是（

π

2

+

π

2

+

2π

3

+

2π

3

）×6=14π
故答案為14π

點(diǎn)評(píng)：本題考查多面體與旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離，球的體積公式，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是理解此小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，得出小球經(jīng)過(guò)的最短距離是四段弧的長(zhǎng)度和，本題考查了空間想像能力及由圖形進(jìn)行計(jì)算的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想