Question

1．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n+1，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為S_n，若S_n＜m對一切正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． （3，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 利用累加法計算可知a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，進而裂項可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加、放縮即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1-a_n=n+1，
∴當(dāng)n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1+1）+（n-2+1）+…+（1+1）+1
=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵a₁=1滿足上式，
∴a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵S_n＜m對一切正整數(shù)n恒成立，
∴m≥2，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查累加法，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．