Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3．
（1）用分段函數(shù)形式寫出y=f（x）的解析式；
（2）寫出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求出函數(shù)的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）只需求出x＜0時f（x）的表達(dá)式即可．設(shè)x＜0，則-x＞0，利用已知表達(dá)式可求出f（-x），再根據(jù)f（x）與f（-x）關(guān)系即可求解．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3，對稱軸為x=1，當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x-3，對稱軸為x=-1，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）利用拋物線的性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
∴當(dāng)x＜0時，設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3．
即x＜0時，f（x）=x²+2x-3．
故f（x）=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
對稱軸為x=1，
∴增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為[0，1]；
當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x-3，
對稱軸為x=-1，
∴增區(qū)間為[-1，0），減區(qū)間為（-∞，-1]．
綜上，f（x）的增區(qū)間為[-1，0），[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-1]，[0，1]．
（3）由（2）知，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
f（x）_min=f（1）=1-2-3=-4，無最大值；
當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x-3，
f（x）_min=f（-1）=1-2-3=-4，無最大值．
綜上，函數(shù)的最小值為-4，無最大值．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式、單調(diào)區(qū)間和最值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．