對于定義域為D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=2x；②f（x）=x3；③f（x）=sinx；④f（x）=log2x+1．
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是


  1. A.
    1個
  2. B.
    2個
  3. C.
    3個
  4. D.
    4個
B
分析：根據(jù)“等值區(qū)間”的定義，要想說明函數(shù)存在“等值區(qū)間”，只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“等值區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．
解答：解：①對于函數(shù)f（x）=2x，若存在“等值區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有2a=a，2b=b，
即方程2x=x有兩個解，即y=2x和y=x的圖象有兩個交點，這與y=2x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故①不存在
“等值區(qū)間”．
②對于函數(shù)f（x）=x3存在“等值區(qū)間”，如 x∈[0，1]時，f（x）=x3∈[0，1]．
③對于函數(shù)f（x）=sinx，若正弦函數(shù)存在等值區(qū)間[a，b]，則在區(qū)間[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函數(shù)的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在區(qū)間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，所以函數(shù)f（x）=sinx沒有“等值區(qū)間”；
④對于 f（x）=log2x+1，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故在區(qū)間[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函數(shù)存在“等值區(qū)間”[1，2]．
故選B
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，考查了函數(shù)的值域，在說明一個函數(shù)沒有“等值區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個函數(shù)：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）定義：對于定義域為D的函數(shù)f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱函數(shù)f（x）在D上是“T”函數(shù)．已知下列函數(shù)：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數(shù)的序號是
③
③
．（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由．
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=
x+4
+m是“和諧”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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