Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n
（3）令證明：2n＜c₁+c₂+…．

Answer 1

解：（1）n≥2時(shí)，=n+1
n=1時(shí)，a₁=S₁=2，也滿(mǎn)足上式
∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=①
②
①-②得
∴
∴
（3）∵==
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n，
∵==
∴c₁+c₂+…+c_n=
∴2n＜c₁+c₂+…．
分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足（n∈N^*），利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合n=1時(shí)，a₁=S₁=2，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}通項(xiàng)的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n
（3）根據(jù)==，可證不等式的左邊；根據(jù)==，可證不等式的右邊．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是數(shù)列與不等式的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足（n∈N^*），利用n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，注意不等式證明中的適當(dāng)放縮．