Question

已知橢圓的離心率為，直線l過點A（4，0），B（0，2），且與橢圓C相切于點P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（0，2）的動直線與曲線相交于不同的兩點M、N，曲線E在點M、N處的切線交于點H．試問：點H是否在某一定直線上，若是，試求出定直線的方程；否則，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題得過兩點A（4，0），B（0，2）直線l的方程為x+2y-4=0．…（1分）
因為，所以a=2c，．
設(shè)橢圓方程為，
由消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因為直線l與橢圓C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以橢圓方程為．…（4分）
（Ⅱ）直線m的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y=kx+2，…（5分）
由，消去y，整理得（k-1）x²+2x-2=0．…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意知，解得．…（8分）
由知過點M的切線方程為
過點N的切線方程為…（10分）
兩直線的交點坐標(biāo)，
所以點H所在的直線方程為x=2．…（13分）
分析：（Ⅰ）由截距式確定直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用直線l與橢圓C相切，確定c的值，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m的方程與曲線聯(lián)立，消去y，再求得過點M、N的切線方程，從而可得兩直線的交點坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查切線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．