(本題滿分12分)
雙曲線的中心為原點,焦點在軸上,兩條漸近線分別為,經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點.已知成等差數(shù)列,且與同向.
(Ⅰ)求雙曲線的離心率;
(Ⅱ)設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.
(Ⅰ)e==;(Ⅱ)。
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè),,
由勾股定理可得:
得:,,
由倍角公式,解得,則離心率.
(Ⅱ)過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立
將,代入,
化簡有
將數(shù)值代入,有,解得
故所求的雙曲線方程為.
解法二:解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為(a>0,b>0),右焦點為F(c,0)(c>0),則c2=a2+b2
不妨設(shè)l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
則 ,
因為2+2=2,且=2-,
所以2+2=(2-)2,
于是得tan∠AOB=。
又與同向,故∠AOF=∠AOB,
所以
解得 tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去)。
因此
所以雙曲線的離心率e==
(Ⅱ)由a=2b知,雙曲線的方程可化為
x2-4y2=4b2 ①
由l1的斜率為,c=b知,直線AB的方程為
y=-2(x-b) ②
將②代入①并化簡,得
15x2-32bx+84b2=0
設(shè)AB與雙曲線的兩交點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則
x1+x2=,x1·x2= ③
AB被雙曲線所截得的線段長
l= ④
將③代入④,并化簡得l=,而由已知l=4,故b=3,a=6
所以雙曲線的方程為
考點:本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,兩角和的正切公式。
點評:中檔題,涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,往往要利用韋達(dá)定理。弦長問題,往往利用弦長公式,通過整體代換,簡化解題過程。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
π | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分12分)已知數(shù)列是首項為,公比的等比數(shù)列,,
設(shè),數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年上海市金山區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分,第1小題6分,第2小題6分)
已知集合A={x| | x–a | < 2,xÎR },B={x|<1,xÎR }.
(1) 求A、B;
(2) 若,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年安徽省高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)
設(shè)函數(shù)(,為常數(shù)),且方程有兩個實根為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線的圖像是一個中心對稱圖形,并求其對稱中心.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年重慶市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分12分,(Ⅰ)小問4分,(Ⅱ)小問6分,(Ⅲ)小問2分.)
如圖所示,直二面角中,四邊形是邊長為的正方形,,為上的點,且⊥平面
(Ⅰ)求證:⊥平面
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求點到平面的距離.
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