Question

設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

Answer 1

（1）； （2）；(3) 存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.

試題分析：(1) 由題意易知，()得（舍去）
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則；
（2）由在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在有兩個(gè)不等實(shí)根，即在有兩個(gè)不等實(shí)根，可求出的范圍.
(3) 由不等式，令即可構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明在即可.
試題解析：（1）由題意知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030037380528.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，由，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴．
（2）由題意在有兩個(gè)不等實(shí)根，即在有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，又對(duì)稱(chēng)軸，則，解得．
（3）對(duì)于函數(shù)，令函數(shù)，則，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又時(shí)，恒有，即恒成立.取，則有恒成立.顯然，存在最小的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.