Question

10．已知拋物線C：x²=8y的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)Q在C上，圓Q的半徑為1，過點(diǎn)F的直線與圓Q切于點(diǎn) P，則$\overrightarrow{F{P}}•\overrightarrow{FQ}$的最小值為3．

Answer 1

分析 可作出圖形，由圖形可看出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=|\overrightarrow{FQ}{|}^{2}-1$，而根據(jù)拋物線的定義，|FQ|等于Q到拋物線C的準(zhǔn)線y=-2的距離，根據(jù)圖形便可看出Q到準(zhǔn)線的最短距離為2，從而便可得出$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$的最小值為3．

解答 解：如圖，$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}={|{\overrightarrow{FP}}|^2}={|{\overrightarrow{FQ}}|^2}-{r^2}={|{\overrightarrow{FQ}}|^2}-1$；
由拋物線的定義知：$|{\overrightarrow{FQ}}|=d，d$為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，易知，拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離⑥最短，${|{\overrightarrow{FQ}}|_{min}}=2$；
∴${（\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}）_{min}}=3$；
即$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 考查圓心和切點(diǎn)連線垂直于切線，余弦函數(shù)的定義，直角三角形邊的關(guān)系，以及拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．